Euklid

Euklid ist der bekannteste Mathematiker der Antike und hat mit seinem fundamentalen
Werk „Die Elemente“ über zwei Jahrtausende die Mathematiker beeinflusst. Über sein
Leben ist jedoch sehr wenig bekannt. Es ist sogar ungewiss, ob Euklid

• eine historische Person ist und „Die Elemente“ und die anderen ihm zugeschrie-
  benen Werke selbst verfasst hat, oder
• der Führer einer Gruppe von Mathematikern gewesen ist, die ihre Ergebnisse un-
  ter seinem Namen, sogar noch nach seinem Tod, veröffentlicht haben, oder
• nie gelebt hat und die ihm zugeschriebenen Werke von einer Gruppe von Mathe-
  matikern verfasst wurden, die sie unter dem Namen von Euklid von Megara veröf-
  fentlichten, der 100 Jahre früher gelebt hatte.

Über 2000 Jahre hat niemand an der ersten Möglichkeit gezweifelt, und wahrscheinlich
ist sie auch zutreffend. Euklid muss in Athen an Platos Akademie studiert haben und
dort die Geometrie von Eudoxus und Theaetetus kennen gelernt haben, die er so meis-
terhaft beherrschte. Die Werke Euklids sind sämtlich ohne Vorwort, und keines ist im
Original erhalten, so dass man auch auf diesem Weg wenig über Euklid erfahren kann.

Euklids berühmtestes Werk sind die „Elemente“, eine Zusammenfassung des gesamten
damaligen mathematischen Wissens und das mathematische Lehrbuch für mehr als
2000 Jahre. Wahrscheinlich hat Euklid nicht ein einziges Resultat der „Elemente“ selbst
als Erster bewiesen, doch gebührt ihm das Verdienst, die Kenntnisse seiner Zeit syste-
matisch erfasst und geordnet zu haben. Außerdem finden sich in den „Elementen“ von
Euklid eingeführte Definitionen, so etwa die eines Rechtecks, eines Rhombus’ und ei-
nes Rhomboids.

„Die Elemente“ beginnen mit Definitionen und fünf Postula-
ten. Die ersten drei dieser Postulate betreffen Konstruktionen,
z.B. stellt das erste Postulat fest, dass durch zwei Punkte eine
Gerade gezogen werden kann. Das vierte und fünfte Postulat
haben einen anderen Charakter. Das vierte stellt fest, dass
alle rechten Winkel gleich sind, was selbstverständlich er-
scheint (was bei Postulaten, die ja nicht bewiesen werden,
auch so sein sollte), doch bedeutet dies auch, dass eine geo-
metrische Figur unabhängig ist von der Position im Raum, an
der sie sich befindet.

Aus den Elementen:

Sind zwei Größen
einer dritten gleich,
so sind sie auch
untereinander gleich.

Das berühmte fünfte Postulat Euklids, auch Parallelenpostulat genannt, stellt fest, dass es durch einen Punkt genau eine Parallele zu einer gegebenen Geraden gibt. Euklids Ent-
scheidung, dies zu einem Postulat zu machen, führte zur „Euklidischen Geometrie“, und
über 2000 Jahre versuchten die Mathematiker, dieses fünfte Postulat entweder aus den
ersten vier Postulaten abzuleiten oder zu zeigen, dass es unabhängig von den ersten vier
Postulaten ist. Es dauerte bis zum 19. Jahrhundert, bis die sogenannte nicht-euklidische
Geometrie entdeckt und untersucht wurde, in der das Parallelenpostulat nicht bzw. in an-
derer Formulierung gilt.

„Die Elemente“ bestehen aus 13 Bü-
chern. Die ersten sechs behandeln die
ebene Geometrie:

• Buch 1 und 2 enthalten die grund-
  legenden Eigenschaften von Drei-
  ecken, Parallelen, Parallelogram-
  men, Rechtecken und Quadraten
• Buch 3 behandelt die Eigenschaf-
  ten des Kreises
• Buch 4 untersucht einige Proble-
  me im Zusammenhang mit Krei-
  sen und hat insbesondere die
  Nachfolger von Pythagoras zu
  weiteren Überlegungen angeregt
• Buch 5 stellt das Werk von Eudo-
  xus über Verhältnisse dar und
  wendet es auf rationale und irrati-
  onale Größen an
• Buch 6 enthält Überlegungen über Anwendungen der Ergebnisse von
  Buch 5 auf die ebene Geometrie

Buch 7 bis 9 handeln von der Zahlentheorie:

• Buch 7 gibt eine Einführung in die Zahlentheorie und enthält den Euklidischen
  Algorithmus zur Bestimmung des ggT zweier Zahlen
• Buch 8 untersucht geometrische Folgen
• Buch 10 enthält die Theorie der irrationalen Zahlen, die hauptsächlich von
  Theaetetus entwickelt worden waren. Euklid änderte allerdings einige Beweise,
  damit sie der von Eudoxus neu eingeführten Definition der Proportionen
  entsprachen.  

Buch 11 bis 13 behandeln die dreidimensionale Geometrie, wobei die grundlegenden
und in allen drei Büchern benutzten Definitionen erst im letzten Buch aufgeführt werden:

• Buch 12 enthält als wichtigste Ergebnisse, dass sich die Flächen zweier Kreise zu-
  einander verhalten wie die Quadrate ihrer Radien, und dass sich die Volumina
  zweier Kugeln zueinander verhalten wie die Kuben ihrer Radien
• Buch 13 untersucht aufbauend auf früheren Ergebnissen von Theaetetus die regel-
  mäßigen Körper und beweist, dass es davon genau 5 gibt (Tetraeder, Hexaeder =
  Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder).