Gabriel Cramer
geboren:
31. Juli 1704 in Genf
Bagnols-sur-Cèze, Frankreich
Aus der Vorlesung bekannt durch
- die
Cramer' sche Regel zum Lösen regulärer
linearer Gleichungssysteme
| Gabriel
Cramer war der Sohn von Jean Isaac Cramer, einem Genfer Arzt, und Anne
Mallet. Er hatte zwei Brüder, die wie er selbst akademische Laufbahnen als Arzt
bzw. Jura-Professor
einschlugen. Bereits im Alter von 18 Jahren wurde ihm für eine Arbeit
über die Theorie des
Schalls der Doktortitel verliehen. Zwei Jahre später bewarb er sich
auf einen Lehrstuhl für
Philosophie an der Akademie von Clavin in Genf. Dabei hatte er zwei
Mitbewerber: Giovanni Ludovico Calandrini, der nur ein Jahr älter war als Cramer selbst,
und der deutlich ältere
Amédée de la Rive. Die Mitglieder der Berufungskommission
favorisierten zunächst wegen
seiner größeren Erfahrung den letzteren, waren aber dann von den
beiden brillanten jungen
Männern so beeindruckt, dass sie eine Möglichkeit ersannen, alle
drei Bewerber an die Akademie zu holen, da sie von Cramer und Calandrini erwarteten, dass sie
in Zukunft sehr wertvoll für die Akademie sein würden.
Die zu vergebende Professur wurde geteilt in einen Lehrstuhl für Philosophie, den de la Rive erhielt, und einen Lehrstuhl für Mathematik, den sich Cramer und Calandrini teilten, sowohl im Gehalt als auch in den Lehrpflichten. Ferner sollte jeder der beiden für zwei oder drei Jahre auf Reisen zu anderen europäischen Hochschulen gehen und in dieser Zeit vom jeweils anderen vertreten werden. Dieses Vorgehen band nicht nur alle drei Männer an die Akademie, sondern gab den beiden jüngeren auch die Gelegenheit, Mathematiker überall in Europa kennen zu lernen, wovon nicht nur sie selbst, sondern auch die Akademie profitierten. Cramer und Calandrini teilten sich die mathematischen Kurse auf: Cramer hielt Vorlesungen über Geometrie und Mechanik, Calandrini über Algebra und Astronomie. Sie arbeiteten so eng zusammen, dass ihre Freunde sie Castor und Pollux nannten. Da sie recht verschiedene Persönlichkeiten waren, hätte das Teilen der Stelle alle Arten von Schwierigkeiten bereiten können, doch auf Grund ihres Naturells lief die Zusammenarbeit bemerkenswert gut. So wird von Cramer gesagt, er sei freundlich, humorvoll, angenehm in Stimme und Auftreten gewesen, habe ein gutes Gedächtnis, gutes Urteilsvermögen und gute Gesundheit besessen. Cramer führte er eine für die damalige Zeit grundlegende Neuerung ein, indem er seine Vorlesungen auf Französisch statt auf Latein hielt, um auch Studenten, die des Lateinischen nicht mächtig waren, das Studium der Mathematik zu ermöglichen. |
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| Nachdem er drei Jahre an der Akademie gelehrt hatte, trat Cramer 1727 vereinbarungsgemäß seine zweijährige Reise durch Europa an, auf der er führende Mathematiker in vielen verschiedenen Städten und Ländern kennen lernte. Zuerst ging er nach Basel, wo er fünf Monate mit Johann Bernoulli zusammen arbeitete, und auch Euler kennen lernte, der kurz daraus nach Königsberg ging. Dann reiste Cramer nach England und machte u.a. die Bekanntschaft von Halley, de Moivre und Stirling. Die nächste Station war Leiden, wo er 's Gravesande kennen lernte, gefolgt von Paris, wo er mit Fontenelle, Maupertuis, Buffon und Clairaut zusammen kam. |
Euler |
Der Gedankenaustausch mit diesen Mathematikern, den er per Briefwechsel fortsetzte, nachdem er wieder nach Genf zurückgekehrt war, hatte einen großen Einfluss auf sein gesamtes Werk und seine Karriere, da er bei all seinen Gesprächspartnern großen Eindruck hinterlassen hatte. |
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Johann Bernoulli |
Zurück in Genf arbeitete Cramer zunächst an der Frage "Quelle est la cause de la figure elliptique des planètes et de la mobilité de leurs aphélies?" (Was ist der Grund für die Elliptische Bahn der Planeten und die Beweglichkeit ihrer Aphelien?), für deren Beantwortung die Pariser Akademie für 1730 einen Preis ausgesetzt hatte. Cramers Arbeit wurde als zweitbeste ausgezeichnet, den ersten Preis gewann Johann Bernoulli. 1734 trennten sich die Wege der „Zwillinge“ Cramer und Calandrini, als letzterer den Lehrstuhl für Philosophie übernahm und Cantor alleiniger Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik wurde. |
Cramer war stets sehr beschäftigt, da er außer seiner Lehrtätigkeit und seinen zahlreichen Briefwechseln noch eine Reihe von Artikeln von beachtlichem Interesse verfasste, wenn sie auch nicht so bedeutsam waren wie die einiger anderer Mathematiker, mit denen er korrespondierte. Seine Publikationen betreffen sehr verschiedene Gebiete, von geometrischen Problemen über die Geschichte der Mathematik und die Philosophie bis zum Datum von Ostern und juristischen Abhandlungen, in denen er darlegt, welche Bedeutung das unabhängige Zeugnis von zwei oder drei Zeugen gegenüber nur einem einzigen Zeugen hat. Sein Interesse beschränkte sich
keineswegs nur auf die Wissenschaft. So war sowohl 1734
Mitglied im Rat der Zweihundert als auch 1749 im Rat der Siebzig, und
in dieser Eigenschaft
übernahm er Aufgaben in Zusammenhang mit Artillerie, Festungsanlagen,
Wiederaufbau zerstörter Gebäude und Ausgrabungen, wobei er seine mathematischen und
wissenschaftlichen
Kenntnisse bestens einsetzen konnte. 1747 reiste er erneut nach Paris,
wo er d’ Alembert kennen lernte und seine Freundschaft mit Fontenelle erneuerte. |
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| Seine wichtigsten Beiträge zur Mathematik leistete Cramer als Herausgeber der mathematischen Werke anderer und durch sein 1750 publiziertes Buch Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques („Einführung in die Analyse algebraischer Kurven“) , das wurde. Johann Bernoulli z.B. starb 1748, nur etwa drei Jahre vor Cramer, doch verfügte er schon zu Lebzeiten, dass nur Cramer seine Arbeiten veröffentlichen durfte, und bat ihn gleichzeitig, auch die Arbeiten seines Bruders Jakob herauszugeben, der bereits 1705 gestorben war. So veröffentlichte Cramer 1742die gesammelten Werke Johann Bernoullis in vier Bänden und 1744 die Arbeiten Jakob Bernoullis in zwei Bänden. In letzteren fehlt zwar die „Ars conjectandi“, das vielleicht wichtigste Werk Jakob Bernoullis, doch enthalten sie zahlreiche vorher unveröffentlichte Arbeiten Jakob Bernoullis einschließlich der zu ihrem Verständnis notwendigen mathematischen Grundlagen. 1745 veröffentlichte Cramer mit Castillon den Briefwechsel zwischen Johann Bernoulli und Leibniz. |
Jakob Bernoulli
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Cramers wichtigstes eigenes Buch ist Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (s.o), von der Cramer selbst sagte, dass er sich viel Arbeit daran hätte ersparen können, wenn er früher im Besitz von Eulers Introductio in analysin infinitorum („Einführung in die Infinitesimalrechnung“) gewesen wäre, die aber erst 1748 publiziert wurde, als Cramer den größten Teil seiner Arbeiten bereits fertig gestellt hatte. Diese Selbsteinschätzung ist etwas verwunderlich, da Cramer in seinem Werk die Infinitesimalrechung nicht wesentlich, sondern nur in Begriffen wie Tangente, Minimum und Maximum benutzt, und dabei Taylor und Maclaurin zitiert. Manchmal wird sogar behauptet, Cramer habe die Infinitesimalrechnung nie verstanden bzw. anerkannt, was jedoch äußerst unwahrscheinlich ist angesichts seines Ansehens bei Johann Bernoulli, der als einer der ersten mit der Infinitesimalrechnung vertraut war und sie äußerst nutzbringend anzuwenden wusste. |
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Cramer' sche Regel |
Im ersten Kapitel der führt Cramer gewisse Typen von Kurven ein und beschreibt Techniken, sie zu zeichnen. Im zweiten Kapitel bespricht er Transformationen zur Vereinfachung dieser Kurven. Im dritten Kapitel stellt er zunächst fest, dass der Graph einer Gleichung n-ten Grades durch 1/2*(n2+3n) Punkte festgelegt wird. Für eine Gleichung 2.Grades sind dies also 5 Punkte, von denen jeder zu einer linearen Gleichung führt. Auf diese Weise erhält Cramer ein lineares Gleichungssystem mit fünf Gleichungen und fünf Unbekannten, das er mit der heute als „Cramer’ sche Regel“ bekannten Methode löst, die nach ihm benannt ist, obwohl er sicher nicht der erste gewesen ist, der sie benutzte. |
Als Castillon-Cramer-Problem ist eine Aufgabe bekannt, die Cramer Castillon stellte und die dieser erst 25 Jahre nach Cramers Tod löste. Dabei sind drei Punkte innerhalb eines Kreises gegeben, und es soll dem Kreis ein Dreieck einbeschrieben werden, das diese drei Punkte enthält. Cramer starb am 4.1.1752 an den Folgen eines Unfalls, den er 3 Monate zuvor erlitten hatte. |