Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
geboren:
3. März 1845 in St. Petersburg
Aus der Vorlesung bekannt durch
- die Definition einer Menge
Georg Cantors Vater, Georg Waldemar Cantor, arbeitete als
erfolgreicher Kaufmann und später
als Broker in St. Petersburg. Geboren wurde er in Dänemark und war der
Kunst und Kultur stets
sehr verbunden. Georgs Mutter, Maria Anna Böhm, war Russin und sehr
musikalisch. Offenbar
hat Cantor ein beachtliches musisch-künstlerisches Talent von seinen Eltern
geerbt, u.a. spielte
er ausgezeichnet Geige. Cantor wurde protestantisch erzogen, was die
Konfession seines Va-
ters war, während seine Mutter römisch-katholischen Bekenntnisses war.
Cantor wurde als Kind von einem
Privatlehrer unterrichtet und besuchte dann die Grundschule
in St. Petersburg, bis er im Alter von 11 Jahren mit seiner Familie auf
Grund der angeschlage-
nen Gesundheit seines Vaters, dem die harten russischen Winter zusetzten,
nach Deutschland
auswanderte. Dort besuchte Cantor zunächst ein Gymnasium in Wiesbaden, danach
ein Real-
schulinternat in Darmstadt, das er 1860 mit einer außergewöhnlichen
Abschlussarbeit verließ,
die seine herausragenden mathematischen Fähigkeiten, insbesondere auf dem
Gebiet der Tri-
gonometrie, schon andeutete.
schule in Darmstadt, damit er „ein leuchtender Stern am Ingenieur-Firmament“ werde. 1862 begann er aber an der Polytechnischen Hochschule in Zürich sein Studium der Mathematik, und zwar mit Zustimmung seines Vaters. Dieser starb jedoch schon ein Jahr später, und Cantor wechselte an die Universität Berlin, wo er ein Freund von Hermann Schwarz wurde und Vorlesungen bei Weierstrass, Kummer und Kronecker besuchte. Er nahm 1866 am Sommerkurs der Universität Göttingen teil und promovierte 1867 in Berlin über das zahlentheoretische Thema "De aequationibus secondi gradus indeterminatis" (über unbestimmte Gleichungen zweiten Grades).
Weierstrass
In Berlin wurde Cantor Mitglied der Mathematischen Gesellschaft, deren Präsident er 1864-1865
war, und traf sich wöchentlich mit einer kleinen Gruppe junger Mathematiker in einem Weinlo-
kal. Er unterrichtete an einer Mädchenschule, schloss sich dem Schellbach-Seminar für Mathe-
matiklehrer an und arbeitete an seiner Habilitation, ebenfalls über ein Thema aus der Zahlen-
theorie, die er kurz nach seinem Ruf nach Halle 1869 beendete.
In Halle wandte sich Cantor dann aber von
der Zahlentheorie ab und der Analysis zu, da ihn ei-
ner seiner älteren Kollegen in Halle, Heine, ermunterte, die Frage der
Eindeutigkeit der Darstel-
lung einer Funktion als trigonometrische Reihe zu beweisen. Dies war ein
schwieriges Problem,
das schon viele Mathematiker erfolglos zu lösen versucht hatten, u.a. Heine
selbst, aber auch
Dirichlet, Lipschitz und Riemann. Cantor gelang es im April 1870.
Dedekind |
In den folgenden zwei
Jahren veröffentlichte Cantor weitere Artikel über Trigonometrie, was den großen Einfluss der Vorlesungen von Weierstrass
zeigt. 1872 wurde Cantor außerordentlicher Professor an der Universität in Halle und begann in diesem Jahr eine Freundschaft mit Dedekind, den er im Urlaub in der Schweiz kenngelernt hatte. Er publizierte eine Arbeit über trigonometrische Reihen, in der er irrationale Zahlen als Grenzwert von konvergenten rationalen Folgen definierte, und darauf bezog sich Dedekind in seiner berühmten Publikation zur Definition der reellen Zahlen mit Hilfe der „Dedekindschen Schnitte". |
1873 bewies Cantor, dass die rationalen Zahlen ebenso abzählbar sind wie die algebraischen Zahlen (das sind alle Wurzeln (also Nullstellen) von Polynomen mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten; alle anderen reellen Zahlen, die also nicht Wurzel eines solchen Polynoms sind, heißen tranzendent). Ob dies auch für die rellen Zahlen gilt, war deutlich schwieriger zu untersuchen, doch gelang es Cantor im Dezember 1873 zu beweisen, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Er veröffentlichte dieses Ergebnis im darauf folgenden Jahr, und in dieser Arbeit taucht erstmalig die Idee der bijektiven Funktion (1-zu-1-Beziehung) auf, wenn auch nur implizit. Liouville hatte 1851 bewiesen, dass es tranzendente Zahlen (s.o.) gibt, und die Arbeit Cantors zeigte nun, dass „fast alle“ reellen Zahlen transzendent sind, da es „nur“ abzählbar unendlich viele algebraische (also nicht transzendente) Zahlen gibt, während die transzendenten Zahlen überabzählbar unendlich sind. |
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Cantor blieb nicht bei dem Erreichten stehen, sondern drängte weiter vorwärts und blieb in regem Briefwechsel mit Dedekind. Als nächstes widmete er sich der Frage, ob es eine Fläche, z.B. ein Quadrat, gleich viele Punkte enthält wie eine Strecke (d.h. ob es eine 1-zu-1-Abbildung zwischen beiden gibt; solche Mengen heißen „gleichmächtig“) oder nicht. In einem Brief an Dedekind vom 5.Januar 1874 schreibt Cantor, dass dies eine sehr schwierig zu beantwortende Frage sei, obwohl es offensichtlich zu sein scheine, dass die Antwort „ja“ lautet (in Wahrheit lautet die Antwort aber „Nein“ !). |
Eine Strecke enthält genau so viele Punkte wie eine Fläche, nämlich überabzählbar unendlich viele. |
Das Jahr 1874 war auch in Cantors privatem Leben bedeutsam. Im Frühjahr verlobte er sich mit Vally Guttmann, einer Freundin seiner Schwester, und heiratete sie am 9. August. Die Flitterwochen verbrachten sie in Interlaken in der Schweiz, wobei Cantor viel Zeit in mathematischen Diskussionen mit Dedekind zubrachte (tolle Flitterwochen!!). |
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„Ich sehe es, aber ich kann es nicht glauben!“ |
Cantor setzte seine Korrespondenz mit Dedekind fort und sandte ihm 1877 den Beweis, dass das reelle Intervall [0, 1] nicht nur zu einem Quadrat, sondern auch zur ganzen Ebene und sogar zu jedem höher-dimensionalen reellen Raum gleichmächtig ist. Dazu schrieb Cantor: „Ich sehe es, aber ich kann es nicht glauben!“ Natürlich hatte diese Erkenntnis unmittelbare Auswirkungen auf die Geometrie und den Begriff der Dimension. Eine weiterführende Arbeit darüber sandte Cantor 1877 an Crelles Journal, deren zukunftsweisende Bedeutung jedoch von Kronecker, der als Gutachter fungierte, nicht erkannt wurde und die daher erst publiziert wurde,nachdem Dedekind zu Gunsten Cantors interveniert hatte. Cantor ärgerte sich derart über die ablehnende Haltung Kroneckers, dass er nie wieder eine seiner Arbeiten an Crelles Journal schickte. |
Diese eine aber erschien schließlich 1878 und etablierte die Methode der bijektiven Abbildung endgültig. Sie behandelte abzählbare Mengen (die also eine 1-zu-1-Beziehung zu den natürlichen Zahlen haben) ebenso wie allgemein die Fragestellung der Gleichmächtigkeit beliebiger Mengen und den Zusammenhang mit der Dimension einer Menge. So fand Cantor z.B. heraus, dass es zwar eine 1-zu-1-Abbildung zwischen dem Einheitsquadrat und dem Intervall [0, 1] (also zwischen einer zwei- und einer ein-dimensionalen Menge) gibt, dass es aber keine stetige Abbildung mit dieser Eigenschaft gibt. Zwischen 1879 und 1884 publizierte
Cantor in den Mathematischen Annalen eine Reihe von 6
Arbeiten, mit denen er das Fundament für die Mengenlehre legte.
Gleichzeitig hatte er aber
mit etlichen Schwierigkeiten zu kämpfen. Zwar erhielt er 1879 auf
Empfehlung Heines eine ordentliche Professur in Halle, doch hatte er auf einen Ruf an eine
angesehenere Universität gehofft. Seine langjährige Korrespondenz mit Schwarz endete 1880, da
dieser mit der Zielrichtung der Cantor’ schen Arbeiten nicht einverstanden war. 1881 starb
Heine, und zur Berufung
eines Nachfolgers stellte Cantor eine Liste mit drei Mathematikern
auf. Auf Platz 1 stand Dedekind, auf Platz 2 Heinrich Weber und auf Platz 3 Mertens. Zum
Leidwesen Cantors lehnte Dedekind den Ruf ab, ebenso wie nach ihm auch Weber und Mertens. Nach
einer zweiten Berufungsliste wurde schließlich Wangerin zum Nachfolger Heines, der aber
nie eine engere Beziehung zu Cantor fand. Auch die fruchtbare mathematische
Korrespondenz zwischen Cantor
und Dedekind endete wenig später. |
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| Gleichzeitig begann
Cantor aber eine ebenfalls bedeutsame Korrespondenz mit Mittag-Leffler, die bald dazu führte, dass Cantor seine Ergebnisse in Mittag-Lefflers Journal Acta Mathematica veröffentlichte und nur noch die Reihe der o.g. sechs Schriften zur Mengenlehre in der Mathematischen Annalen zu Ende führte. Die fünfte erschien unter dem Titel „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ und wurde aus verschiedenen Gründen bedeutsam. Einerseits hatte Cantor erkannt, dass seine Theorie der Mengenlehre nicht die Akzeptanz fand, die er sich erhofft hatte, und daher diesen fünften Artikel als Antwort auf die Kritik konzipiert. Andererseits führte er die transfiniten Zahlen (das sind die Zahlen, mit denen man die Elemente unendlicher Mengen zählt. Sie werden mit dem hebräischen Buchstaben aleph bezeichnet) als selbständige und systematische Erweiterung der natürlichen Zahlen ein. Dabei spricht er ausdrücklich die Ablehnung seiner Ideen durch einen Großteil der mathematischen Welt an, die ihn sehr bekümmerte. |
Mittag-Leffler
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Ende Mai 1884 erlitt Cantor seinen ersten Depressionsanfall. Zwar erholte er sich nach einigen Wochen, doch schien er von da an misstrauischer und zurückhaltender. Lange Zeit war man der Meinung, dass Cantors mathematische Probleme, insbesondere seine schwierige Beziehung zu Kronecker, seine Depressionen ausgelöst hätte. Heute weiß man jedoch, dass die Depressionen dadurch nicht verursacht, sondern allenfalls verstärkt wurden. |
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Kronecker |
Nachdem er sich von
seiner Depression erholt hatte, machte er Urlaub im Harz
und versuchte, sich mit Kronecker zu versöhnen. Dieser ging zwar auf
den Versuch ein, doch gelang es beiden nicht, ihre Meinungsverschiedenheiten
beizulegen und zu einem ungetrübten Verhältnis zu kommen.
Auch mathematisch tauchten für
Cantor Probleme auf, als er sich mit der Kontinuumshypothese (also mit der Frage, ob es eine transfinite Zahl
zwischen den
natürlichen und den reellen Zahlen gibt) beschäftigte. Mal glaubte
er, sie bewiesen zu haben, mal sie widerlegt zu haben, um jeweils am nächsten
Tag
einen Fehler in seinen Gedanken zu finden. |
1885 überredete Mittag-Leffler Cantor dazu, einen Artikel aus den Acta Mathematica zurückzuziehen, da er “hundert Jahre zu früh” komme. Cantor lachte darüber, war aber sehr betroffen und sagte: “Wenn ich Mittag-Leffler folge, muss ich bis 1984 warten, was mir unzumutbar erscheint. Von den Acta Mathematica will ich nichts mehr wissen.“ Mittag-Leffler hatte es nur gut gemeint, doch zeigt dieser Vorfall, dass es auch ihm an Gespür für die Bedeutung der Cantor’ schen Arbeiten fehlte. Die Korrespondenz zwischen Mittag-Leffler und Cantor endete kurz danach, und die Flut immer neuer Ideen, die Cantor über 12 Jahre zur raschen Entwicklung der Mengenlehre geführt hatte, versiegte. 1886 kaufte Cantor ein neues Haus,
und innerhalb eines Jahres wurde ihm als sechstes und
letztes Kind ein Sohn geboren. Er wandte sich von der weiteren
mathematischen Forschung
über die Mengenlehre ab und zwei neuen Tätigkeitsfeldern zu: erstens
diskutierte er mit vielen Philosophen die weltanschaulichen Aspekte seiner Mengenlehre in
Briefwechseln, die er
1888 veröffentlichte; zweitens übernahm er nach dem Tod von Clebsch
die Aufgabe, die Deutsche Mathematiker-Vereinigung zu gründen, was ihm 1890 gelang.
Im September 1891 fand
das erste Treffen der Vereinigung in Halle unter Cantors Leitung
statt, und trotz seiner bitteren
Feindschaft mit Kronecker lud er diesen auch zu dem Treffen ein. Da
sich seine Frau bei einem Unfall so schwer verletzt hatte, dass sie wenig später starb, kam
Kronecker jedoch nicht. Cantor wurde zum ersten Präsidenten
der Vereinigung gewählt und blieb es bis 1893. Er half
noch bei der Vorbereitung des nächsten Treffens 1893 in München,
doch erkrankte er kurz vorher und konnte nicht teilnehmen. |
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| 1894 veröffentlichte
Cantor eine ziemlich merkwürdige Arbeit, in der er zeigte, dass alle geraden Zahlen bis 1000 als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden können (eine der berühmtesten Fragen in der Mathematik ist die sogenannte Goldbach’ sche Vermutung, dass dies für alle geraden Zahlen möglich ist). Da dies aber bereits 40 Jahre zuvor für alle geraden Zahlen bis 10.000 bewiesen worden war, sagt dieser Artikel mehr über Cantors Geisteszustand aus als über die Goldbach’ sche Vermutung. |
Alle geraden Zahlen können als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden Goldbach’ sche Vermutung |
Seine beiden letzten größeren Artikel über Mengenlehre veröffentlichte Cantor 1895 und 1897. Obwohl er den zweiten schon ein halbes Jahr nach dem ersten beendet hatte, hielt er ihn eine Zeit lang zurück, da er hoffte, noch den Beweis der Kontinuumshypothese zu finden. Es gelang ihm jedoch nicht, und so enthält der zweite Artikel nur seine Theorie der wohlgeordneten Mengen und der Ordinalzahlen. 1897 nahm Cantor am ersten
Internationalen Kongress der Mathematiker in Zürich teil, wo seine Mengenlehre endlich die gebührende Anerkennung fand. Er traf dort
Dedekind und erneuerte seine Freundschaft mit ihm. Doch hatte er selbst in dieser Zeit
gerade die ersten Paradoxien in seiner Mengenlehre entdeckt, und er teilte dies Hilbert schon
1896 in einem Brief mit. |
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Shakespeare |
In seinen depressiven Phasen tendierte Cantor dazu, sich von der Mathematik abzuwenden und philosophische Studien zu betreiben. Sein bevorzugter Forschungsgegenstand war seine Vermutung, dass Francis Bacon der Autor der Shakespeare-Dramen war. 1848 hatte er darum gebeten, seine Vorlesungen über Philosophie statt über Mathematik halten zu dürfen, und intensive Literaturstudien betrieben, um seine Bacon-Shakespeare-Theorie zu beweisen. 1896 und 1897 begann er auch mit Publikationen zu diesem Thema. Weitere Rückschläge für Cantor waren der Tod seiner Mutter im Oktober 1896 und seines jüngeren Bruders 1899. |
Für das Wintersemester 1899/1900 wurde Cantor ein Forschungsfreisemester bewilligt. Doch im Oktober 1899 starb sein jüngster Sohn, und damit begann eine depressive Phase, die bis an sein Lebensende dauern sollte. Er konnte mehrfach seine Vorlesungen nicht halten und verbrachte auch einige Zeit in einem Sanatorium. Dennoch beschäftigte er sich weiterhin mit seiner Bacon-Shakespeare-Theorie, worüber er auch publizierte, und gab auch die Mathematik nicht vollständig auf. Im September 1903 berichtete er auf der Deutschen Mathematiker Vereinigung in Heidelberg über die Paradoxien seiner Mengenlehre, und er nahm im August 1904 auch Internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg teil. |
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| 1911 verlieh ihm die Universität St. Andrews in Schottland eine Ehrendoktortitel, doch war Cantor bereits zu krank, um ihn persönlich entgegen zu nehmen. 1913 zog sich Cantor von allen Tätigkeiten zurück und verbrachte den Rest seines Lebens mit unzureichender Versorgung mit Lebensmitteln auf Grund der Kriegssituation in Deutschland. Auch eine in Halle geplante große Feier aus Anlass von Cantors 70. Geburtstag konnte wegen des Krieges nicht stattfinden. Im Juni 1917 wurde er erneut in ein Sanatorium eingeliefert, wo er dann an einer Herzattacke starb. |  University of St. Andrews |
Hilbert beschrieb Cantors Werk als „das schönste Ergebnis mathematischen Geistes“.
Zitate von Cantor In der Mathematik
ist die Kunst eine Frage zu stellen höher anzusehen als sie zu
beantworten. Das Wesen der Mathematik ist ihre Freiheit. Jede unendliche Menge muss ein eindeutiges Aleph als Kardinalzahl haben. |
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